Точці цього проміжку.

Для встановлення проміжків, на яких графік функції

y = f ( x ) опуклий,а на яких вгнутий,вкажемо теорему,яка дає

достатні умови опуклості і вгнутості кривих на проміжку.

ТЕОРЕМА.Якщо на проміжку ( a ,b ) друга похідна функ-ції y=f ( x ) від’ємна, то її графік опуклий на цьому проміжку, якщо f '' ( x ) додатня на ( a ,b ) , то графік y=f ( x ) вгнутий.

Не приводячи строгого доведення, приведемо геометричні міркування, які пояснюють теорему.

Якщо скрізь на проміжку (a,b) f″(x)<0, то це означає, що f′(x), як функція для якої f″(x) є похідною, буде спадною. Отже, спадає на розглядуваному проміжку кутовий коефіцієнт дотичної tgα до кри-вої і спадає сам кут α, утворюваний дотичною з додатним напрямом осі Ox (мал12).



Очевидно крива на проміжку ( a ,b ) розташована під дотич-ною. Якщо f '' ( x ) > 0 , то крива буде угнутою.

Означення4. Точка, яка відокремлює опуклу частину непе-рервної кривої від вгнутої чи навпаки, називається точкою пере-гину.

Необхідні умови існування точки перегину дає теорема.
ТЕОРЕМА. Якщо x0 - точка перегину неперервної функ-
ції y = f ( x ) ,то друга похідна її f '' ( x ) в цій точці
дорівнює нулю або не існує. у
Точки, в яких f '' ( x ) дорівнює нулю
або не існує називають критичними точками
другого роду.
Проте умови теореми не є достатніми.
Так для функції y = x 4 друга похідна
y'' = 12 x 2 дорівнює нулю при x = 0. Проте
графік її вгнутий в цій точці (мал.14). Мал.1 О х

◙ Достатні умови існування точки перегину.



ТЕОРЕМА. Якщо друга похідна f '' ( x ) в точці x 0 дорів-нює нулю і міняє знак при переході через цю точку, то точка з

абсцисою x0 є точкою перегину кривої y=f ( x ) .
Доведення. Припустимо,що в точці М з абсцисою x = x0 ,
друга похідна f '' ( x ) = 0 і при переході через неї зліва на право
змінює знак з мінуса на плюс. Тоді зліва від М крива опукла
( f '' ( x ) < 0 ), а справа крива вгнута ( f '' ( x ) > 0 ).Отже, в точці М

крива змінює опуклість на вгнутість, і тому точка М є точкою пере-гину.

Приклад.Знайти точки перегину і визначити проміжки

опуклості та вгнутості кривої y = e − x 2
(крива Гаусса).
x 2
Знаходимо похідні: y' =− xe ,
x 2 x 2 x 2
y'' =−e − + x 2 e − = ( x 2 − 1 )e −
2 .

Прирівнюємо другу похідну до нуля і знаходимо критичні



x2
2 = 0, x2 − 1 = 0 , x =−1, x = 1.
точки другого роду: ( x2 − 1 )e
Ці точки розбивають область визначення функції на проміж-
ки: ( −∞ ,−1 ),( −1,1 ),( 1,∞ ) + - +
(мал.15). Знаходимо знаки другої Мал.1 -
похідної в цих проміжках. у
Отже, точки x1 =−1,
x2 = 1
є точками перегину. На
проміжку ( −1,1 ) − крива опукла,
на проміжках ( −∞ ,−1 ) ∪ ( 1,∞ ) - -1 О х
крива вгнута (мал.16). Мал.16


6475126255244707.html
6475206905562310.html
    PR.RU™